A-Level高数纯数满分备考指南

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A-Level课程CIE考试局高数paper2满分备考指南分享，希望同学注意一下文中提到的知识点。

1.Vectors

P3的延伸。对于点到线，点到面以及线到线的距离，由于公式比较复杂，强烈推荐拉垂线做。另外大家要知道两个向量叉乘的模是他们围成的平行四边形的面积，这样可以快速求出三角形的面积。

向量还有一个和矩阵一起考的题型，比如11年冬季13卷的11OR，大家要确保会做。

2.Roots of Polynomials

S2的公式需要记住，其他所有都可以自行推出。

在计算的时候注意有些项的系数可能为0，比如x^3+x+1=0三个根的和其实为0。

3.Induction

P(n), BC, IS和Conclusion是必须要写的，此外n的范围也需要注明。

比较冷门的induction：证明多边形内角和，证明binomial theorem (16W 11)

4.Summation

这一题是不能错的，因为求和可以验算，把做出来的解带不同的n进去试一下确保正确即可。

另外如果知道Sn 要会求Ur : Un + Sn-1 = Sn

5.Graph

在写渐近线的时候必须写清名字。比如 Oblique asymptote: y = x-2。

如果分子的次数小于分母，不要忘记Horizontal asymptote y=0。

画图的时候坐标轴越大越好，有几条渐近线图形就有几个区域。

y的取值范围不要用求导做，分母乘到左边用x的quadratic做即可。

6.Polar Coordinates

画图的时候注意tangent at the pole.比如r=θ和θ = 0相切，同时不要忘记对称性。

离initial line最远/最近的距离：dy/dθ = 0

离θ=pi/2 最远/最近的距离: dx/dθ = 0

离pole最近/最远的距离：dr/dθ = 0

不要忘记polar和cartesian的互相转化，他们的图像是一样的。

7.Reduction Formula

单个function做基本都是乘1，出现1+x^2的那基本会考(1+x^2-1)，注意题目show that是In-1还是In+1，这样可以确定哪个作为u哪个作为v。

8.Integration

这章公式比较多大家一定要记住!Parametric的积分把dx换成dx/dt * dt不要忘记把x的上下限换成t的上下限，另外两个centroids也是同理。最后P1里的volume也是考试的考点，大家不要忘记。

9.Second order differentiation

Parametric function求二导的公式需要记住。

10.ODE

如果yp是yc的一部分，那需要把yp变成xyp。

而如果涉及到transformation of varibles，写解的时候需要注意varibale是t还是x。

如果有时间的话，把求出来的解带回原式进行验算。

11.Complex Numbers

De Moivre's Theroem化简式子之后带不同的θ值进行验算，这一块很容易出差错。

求和题中，等比数列求和比较容易。而如果出现binomial coefficient那必然是binomial expansion，需要知道(1+z)的modulus和argument怎么计算，常考的化简：sinx/(1+/-cosx)。

a问求和是cos而b问求和是sin，考虑一下求导的可能性。

Roots of complex numbers中，先把右边写成re^θi 的形式再去求解，不要死记公式。

Roots of unity里，需要知道如何求quadratic factor.

例子：z^5=1，(z-z1)(z-z4)就是一个quadratic factor因为z1和z4 互为complex conjugate,同理(z-z2)(z-z3)也是。

12.Linear Algebra

Eigenvalue的验算方法：和是trace,积是determinant

A^-1的eigenvalue是λ^-1的验证方法：Ae=λe, A^-1Ae=A^-1λe, λ^-1e=A^-1e，其余验证eigenvalue都只需要在matrix后乘e即可。

Ax=b有解《=》A is non-singular 《=》A is invertible 《=》A^-1 exists

Ax=b有无数解：Ax0=0, Ax1=b, x=x0+x1;通常x1题目会告知，若没有告知需要看range space里basis的linear combination的系数。

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